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  马尔可夫分析(Analysis By Markov)起源于俄国数学家A.A.马尔可夫对成链的试验序列的研究。在马尔可夫过程的假设前提下,通过分析随机变量的现时变化情况来预测这些变量未来变化情况的一种预测方法。

  1907年马尔可夫发现某些随机事件的第n次试验结果常决定于它的前一次(n-1次)试验结果。马尔可夫假定各次转移过程中的转移概率无后效性,用以对物理学中的布朗运动作出数学描述。1923年由美国数学家N.维纳提出连续轨道的马尔可夫过程的严格数学结构。30~40年代由A.H.柯尔莫戈罗夫、W.费勒、W.德布林、P.莱维和J.L.杜布等人建立了马尔可夫过程的一般理论,并把时间序列转移概率的链式称为马尔可夫链。马尔可夫分析已成为市场预测的有效工具,用来预测顾客的购买行为和商品的市场占有率等。

  马尔可夫决策过程是指决策者周期地或连续地观察具有马尔可夫性的随机动态系统,序贯地作出决策。即根据每个时刻观察到的状态,从可用的行动集合中选用一个行动作出决策,系统下一步(未来)的状态是随机的,并且其状态转移概率具有马尔可夫性。

  • 数学描述:周期地进行观察的马尔可夫决策过程可用如下五元组来描述:{S,(A(i),i∈S,q,γ,V},其中S 为系统的状态空间(见状态空间法);A(i)为状态i(i∈S)的可用行动(措施,控制)集;q为时齐的马尔可夫转移律族,族的参数是可用的行动; γ是定义在Γ(Г呏{(i,ɑ):a∈A(i),i∈S}上的单值实函数;若观察到的状态为i,选用行动a,则下一步转移到状态 j的概率为q(j│i,ɑ),而且获得报酬γ(j,ɑ),它们均与系统的历史无关;V是衡量策略优劣的指标(准则)。
  • 策略:策略是提供给决策者在各个时刻选取行动的规则,记作 π=(π0,π1,π2,…, πn,πn+1…),其中πn是时刻 n选取行动的规则。从理论上来说,为了在大范围寻求最优策略πn,最好根据时刻 n以前的历史,甚至是随机地选择最优策略。但为了便于应用,常采用既不依赖于历史、又不依赖于时间的策略,甚至可以采用确定性平稳策略。
  • 指标:衡量策略优劣的常用指标有折扣指标和平均指标。折扣指标是指长期折扣〔把 t时刻的单位收益折合成0时刻的单位收益的βt(β<1)倍〕期望总报酬。平均指标是指单位时间的平均期望报酬。采用折扣指标的马尔可夫决策过程称为折扣模型。业已证明:若一个策略是β折扣最优的,则初始时刻的决策规则所构成的平稳策略对同一β也是折扣最优的,而且它还可以分解为若干个确定性平稳策略,它们对同一β都是最优的。现在已有计算这种策略的算法。采用平均指标的马尔可夫决策过程称为平均模型。业已证明:当状态空间S 和行动集A(i)均为有限集时,对于平均指标存在最优的确定性平稳策略;当S和(或)A(i)不是有限的情况,必须增加条件,才有最优的确定性平稳策略。计算这种策略的算法也已研制出来。
  • 马尔可夫分析在企业管理中的应用

  • 确定企业劳动力的需求:如考虑到离职、退休和死亡等因素,为了从企业内外进行补充,可用马尔可夫分析来确定劳动力的需求。
  • 引进新产品:马尔可夫分析在确定用户对某种牌号产品的信任是如何转向另一种新产品时,为企业开发新产品提供有用信息。
  • 选择广告计划:通过对未来市场占有率的估计来评价和选择几种广告计划的优劣。
  • 预测随机服务系统的工作负荷。
  • 预测最优维修方案。
  • 产品可靠性预测。


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